Nedir Conditional VaR (CVaR/ES)?
▾
Beklenen Açık (ES) veya Beklenen Kuyruk Kaybı (ETL) olarak da bilinen Koşullu Riske Maruz Değer (CVaR), Riske Maruz Değer (VaR) eşiğini aşan en kötü senaryolarda ortalama kaybı ölçen bir risk ölçüsüdür. VaR, 'belirli bir güven seviyesinde aşmamayı beklediğim maksimum kayıp nedir' sorusunu yanıtlarken CVaR, 'VaR eşiğini aştığım göz önüne alındığında, beklemem gereken ortalama kayıp nedir?' sorusunu yanıtlıyor. Bu, CVaR'ı, nadiren meydana gelen ancak yıkıcı etkiye sahip yıkıcı kayıplar olan kuyruk riskini yakalamak için üstün bir risk önlemi haline getirir. Örneğin, bir portföyün 1 günlük VaR'ının %95'i 1 milyon dolar ise, bu, bir günde 1 milyon dolardan fazlasını kaybetme ihtimalinin %5 olduğu anlamına gelir. Bu durumda %95 CVaR, en kötü %5 senaryodaki tüm kayıpların ortalaması olacaktır - belki de 1,8 milyon dolar. CVaR, aynı güven düzeyinde her zaman VaR'dan büyük veya ona eşittir ve aşırı kayıpların ciddiyeti (sadece olasılığı değil) hakkında kritik bilgiler sağlar. CVaR, çeşitli nedenlerden dolayı modern risk yönetimi ve düzenleyici çerçevelerde tercih edilen risk ölçüsü haline gelmiştir. Birincisi tutarlıdır: VaR'dan farklı olarak CVaR, alt toplamsallığın matematiksel özelliğini karşılar (birleşik bir portföyün CVaR'si bireysel CVaR'lerin toplamından büyük değildir), yani çeşitlendirme her zaman ödüllendirilir. VaR'da bu özellik yoktur. İkincisi, CVaR kayıp dağılımının kuyruğu hakkında daha fazla bilgi verir. Üçüncüsü, CVaR dışbükeydir ve doğrusal programlama kullanılarak optimize edilebilir, bu da onu portföy optimizasyonu için pratik hale getirir. Basel Bankacılık Denetleme Komitesi (BCBS), piyasa riski çerçevesini resmi olarak VaR'dan, 2023'te tam olarak yürürlüğe girecek olan Ticaret Kitabının Temel İncelemesinde (FRTB) Beklenen Açık'a kaydırdı. FRTB kapsamında, bankaların ES'yi %97,5 güven düzeyinde (kuyruk kapsamında normal dağılımlarda %99 VaR'ye eşdeğer) hesaplaması ve daha fazla kuyruk riski yakalaması gerekiyor. Bu düzenleme değişikliği, 2008 Küresel Mali Krizi ve bunu takip eden stres dönemlerinde de görüldüğü gibi, VaR'ın piyasa krizleri sırasındaki riski sistematik olarak olduğundan düşük tahmin ettiğini kabul etmektedir. CVaR analitik olarak (normal dağılımlı getiriler için), tarihsel simülasyondan (kuyrukta gözlemlenen kayıpların ortalaması alınarak) veya Monte Carlo simülasyonu kullanılarak (simüle edilmiş kuyruk kayıplarının ortalaması alınarak) hesaplanabilir. Her yöntemin güçlü ve zayıf yönleri vardır ve gelişmiş risk sistemleri genellikle üçünü de çapraz kontrol olarak kullanır.
DigiCalcs delivers precision-engineered tools for engineers and STEM professionals.
Formül
▾
Parametrik CVaR (normal): CVaR_α = −μ + σ × φ(Φ⁻¹(α)) / (1−α)
Tarihsel CVaR: VaR_α'yı aşan tüm gözlemlenen kayıpların ortalaması
Paralel: CVaR = E[Kayıp | Zarar > VaR_α]Değişken açıklaması
▾
| Sembol | Ad | Birim | Açıklama |
|---|---|---|---|
| α | Güven Düzeyi | % | Olasılık eşiği: VaR için %95 veya %99; Basel III ES için %97,5. CVaR bu seviyenin ötesindeki ortalama kaybı ölçer. |
| VaR_α | Riske Maruz Değer | USD | Güven seviyesi α'daki kayıp eşiği; CVaR, VaR'ı aşan kayıpların ortalamasıdır. |
| CVaR_α | Koşullu VaR / Beklenen Açık | USD | Ortalama kayıp (1−α) en kötü kuyrukta olma koşuluna bağlıdır; CVaR ≥ VaR her zaman. |
| σ | Portföy Oynaklığı | %/day or %/year | Portföy getirilerinin standart sapması; Parametrik CVaR hesaplaması için birincil giriş. |
| ES_ratio | ES/VaR Oranı | ratio | CVaR'nin VaR'ye aynı güven düzeyinde bölünmesi; normal dağılımlar için %99 ES/VaR ≈ 1,14; yağlı kuyruklu dağılımlar için daha yüksektir. |
Nasıl Conditional VaR (CVaR/ES)
▾
- 1Güven düzeyini belirtin (α): dahili risk yönetimi için genellikle %95 veya %99; Basel III FRTB yasal sermayesi için %97,5.
- 2Portföy getiri verilerini toplayın: geçmiş getiriler (tarihsel simülasyon) veya model parametreleri μ ve σ (parametrik).
- 3VaR'yi α düzeyinde hesaplayın: kayıp (1−α) olasılığıyla aşıldı. Normal için: VaR = −μ + σ × Φ⁻¹(α).
- 4Geçmiş CVaR için: tüm geçmiş kayıpları en kötüden en iyiye doğru sıralayın; gözlemlerin en kötü (1−α)%'sindeki kayıpların ortalamasını alın.
- 5Parametrik CVaR (normal) için: CVaR = −μ + σ × [φ(Φ⁻¹(α)) / (1−α)], burada φ standart normal PDF'dir ve Φ⁻¹ ters CDF'dir.
- 6Monte Carlo CVaR için: binlerce portföy getiri senaryosunu simüle edin; kayıplara göre sıralayın; simüle edilmiş sonuçların en kötü (1−α)%'sinin ortalamasını alın.
- 7VaR ve ES/VaR oranının yanı sıra CVaR'yi de raporlayın. Sermaye rezervleri ve risk limitleriyle karşılaştırın. Basel FRTB kapsamında ES, birincil yasal sermaye ölçüsü olarak VaR'ın yerini alıyor.
Çözümlü Örnekler
▾
CVaR, VaR'dan %15 daha büyüktür; aşırı kayıpların ciddiyetini yansıtır
Normal dağılım için: VaR₉₉% = σ × Φ⁻¹(0,99) = %1,5 × 2,326 = %3,489 → 348.900 $. CVaR₉₉% = σ × φ(2,326) / 0,01 = %1,5 × (0,02665 / 0,01) = %1,5 × 2,665 = %3,998 → 399.800 $. 400 bin dolarlık CVaR, günlerin en kötü %1'indeki ortalama günlük kaybı temsil ediyor. Bu, en kötü günlerde portföyün yalnızca 348.900 $ VaR eşiğini değil, ortalama 400.000 $ kaybetmeyi beklediği anlamına gelir. Risk yöneticileri kuyruk olaylarına yönelik sermaye tamponlarını boyutlandırmak için CVaR'ı kullanır.
Tarihsel kuyruk normalden daha şişman — CVaR/VaR oranı=1,47x
%95 güvenle 2.520 gözlemle: en kötü %5 = 126 gözlem. Tüm getirileri en kötüden en iyiye doğru sıralayın; 126'ncı en kötü ise VaR sınırıdır (zarar = %1,5 × 50 milyon dolar = 750 bin dolar). En kötü 126 kaybın tamamının ortalaması: Ortalama en kötü %5'lik kayıp %2,2 ise, CVaR = %2,2 × 50 milyon dolar = 1.100.000 dolar. 1,47'lik CVaR/VaR oranı, gerçek hisse senedi getirilerindeki kalın kuyrukları yansıtıyor; gerçek dağılımlar, normal dağılımın öngördüğünden daha aşırı olaylara sahiptir. Tarihsel simülasyonun genellikle parametrik yöntemlere göre daha yüksek CVaR üretmesinin nedeni budur.
FRTB, eski %99 VaR'ın yerine, stresli geçmiş senaryolara göre %97,5 oranında ES kullanıyor
Basel III FRTB (2023'ten itibaren geçerli) kapsamında, alım satım hesaplarına yönelik piyasa riski sermayesi, stresli bir tarihsel döneme göre kalibre edilmiş 10 günlük likidite ufku boyunca %97,5 güvenle Beklenen Açık'ı kullanıyor. Normalin altındaki %97,5'lik bir ES, kuyruk alanındaki %99'luk VaR'a yaklaşık olarak eşittir, ancak ES, eşiğin ötesindeki kayıpların büyüklüğünü yakalar. Bankalar, tarihlerindeki en kötü bir yıllık stres dönemini tespit etmeli ve bu verileri kullanarak ES'yi hesaplamalıdır. Sermaye = ES_stresli × farklı varlık sınıfları için likidite ayarlama faktörleri.
CVaR alt toplamlıdır — VaR değildir (VaR bu özelliği geçemez)
650 bin dolarlık birleşik portföy CVaR'si, bireysel CVaR'lerin toplamından daha azdır (500 bin dolar + 400 bin dolar = 900 bin dolar), bu da CVaR'ın alt toplamsallık özelliğini gösterir. 250 bin dolarlık fark, çeşitlendirme avantajıdır; A ve B varlıkları mükemmel şekilde birlikte çökmez, dolayısıyla kuyruk kayıpları kısmen dengelenir. VaR her zaman bu özelliği göstermez (birleşik VaR bazı durumlarda toplamı aşabilir), bu nedenle VaR tutarlı bir risk ölçüsü değildir, ancak CVaR öyledir. Bu matematiksel tutarlılık, CVaR'ı portföy optimizasyonu ve düzenleyici sermaye için tercih edilir hale getirir.
Gerçek dünya uygulamaları
▾
Banka alım satım defteri düzenleyici sermayesi (Basel III FRTB), uygulayıcıların doğrulanmış hesaplama yöntemlerine ve endüstri standardı yaklaşımlara dayanarak iyi bilgilendirilmiş niceliksel kararlar almasına olanak tanır; bu, kanıta dayalı kararları, stratejik kaynak tahsisini ve çeşitli organizasyonel bağlamlar ve profesyonel disiplinler genelinde performans optimizasyonunu desteklemek için hassas niceliksel analiz gerektirir.
Finansal riskten korunma fonu riskinin izlenmesi ve yatırımcı raporlaması, analistlerin hem kurumsal hem de bireysel ortamlarda planlama, değerlendirme ve sürekli iyileştirme süreçlerine bilgi sağlayan güvenilir çıktılar üretmek için doğru sayısal hesaplamanın gerekli olduğu kuruluşlar genelinde stratejik planlamayı, kaynak tahsisini ve performans kıyaslamasını destekleyen doğru sonuçlar üretmesine yardımcı olur.
Solvency II kapsamında sigorta şirketi rezerv yeterliliği, profesyonellerin sonuçları sistematik olarak ölçmesine ve güvenilir matematiksel çerçeveler ve yerleşik formüller kullanarak senaryoları karşılaştırmasına olanak tanıyarak, günlük profesyonel faaliyetlerinde niceliksel titizliğe bağlı olan paydaşlar için ham girdi verilerini eyleme dönüştürülebilir içgörülere dönüştüren sistematik hesaplama yaklaşımları gerektirir.
Uyumluluk, raporlama ve optimizasyon hedefleri için sayısal hassasiyetin gerekli olduğu veri odaklı değerlendirme süreçlerini destekleyen, profesyonel ortamlarda raporlama, denetim ve uzun vadeli trend analizi için uygun tutarlı ve doğrulanabilir sonuçlar sağlayan güçlü hesaplama yöntemleri gerektiren kuyruk risk kısıtlamalarına sahip portföy optimizasyonu
Çeşitli kurumsal bağlamlar ve profesyonel disiplinler genelinde kanıta dayalı kararları, stratejik kaynak tahsisini ve performans optimizasyonunu desteklemek için hassas niceliksel analiz gerektiren emeklilik fonu varlık-pasif risk yönetimi
Özel durumlar
▾
4 df'li Öğrenci t dağılımı altında, ES/VaR oranları normalden %50-100 daha yüksektir, bu da parametrik normal CVaR'nin gerçek kuyruk riskini önemli ölçüde eksik tahmin ettiği anlamına gelir. Parametrik CVaR'yi her zaman tarihsel simülasyonla destekleyin."}. Koşullu var ile çalışan profesyoneller bu senaryoya özellikle dikkat etmelidir çünkü bu senaryo, doğru şekilde ele alınmazsa yanıltıcı sonuçlara yol açabilir. Pratikte bu durum ortaya çıktığında her zaman sınır koşullarını doğrulayın ve bağımsız yöntemlerle çapraz kontrol yapın.
Koşullu var ile çalışan profesyoneller bu senaryoya özellikle dikkat etmelidir çünkü bu durum, doğru şekilde ele alınmazsa yanıltıcı sonuçlara yol açabilir. Pratikte bu durum ortaya çıktığında daima sınır koşullarını doğrulayın ve bağımsız yöntemlerle çapraz kontrol yapın.
Koşullu var ile çalışan profesyoneller bu senaryoya özellikle dikkat etmelidir çünkü bu durum, doğru şekilde ele alınmazsa yanıltıcı sonuçlara yol açabilir. Pratikte bu durum ortaya çıktığında daima sınır koşullarını doğrulayın ve bağımsız yöntemlerle çapraz kontrol yapın.
Çeşitli Güven Düzeylerinde ES/VaR Oranları (Normal Dağılım)
▾
| Güven Düzeyi | VaR Çarpanı (z) | ES Çarpanı | ES/VaR Oranı | Basel Başvurusu |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 1.282 | 1.755 | 1.370 | Dahili risk limiti (ortak) |
| 95% | 1.645 | 2.063 | 1.254 | Standart risk raporlaması |
| %97,5 | 1.960 | 2.338 | 1.193 | Basel III FRTB birincil metriği |
| 99% | 2.326 | 2.665 | 1.145 | Eski Basel II/2.5 standardı |
| %99,5 | 2.576 | 2.892 | 1.123 | Sigorta / Ödeme Gücü II |
| %99,9 | 3.090 | 3.368 | 1.090 | Ekonomik sermaye / aşırı risk |
Sık sorulan sorular
▾
CVaR neden VaR'dan üstün sayılıyor?
CVaR, birbiriyle bağlantılı birçok nedenden dolayı VaR'dan üstündür. Birincisi, CVaR tutarlıdır: alt toplamsallığı karşılar (çeşitlendirme her zaman yardımcı olur), VaR ise karşılamaz. İkincisi, CVaR yalnızca eşiği aşma olasılığı değil, eşiğin ötesindeki kaybın ciddiyeti hakkında da bilgi sağlar. VaR 'α olasılığıyla X'ten fazlasını kaybetmezsiniz' diyor ancak X'i aştıklarında kayıpların ne kadar kötü olduğu hakkında hiçbir bilgi vermiyor. Üçüncüsü, CVaR dışbükeydir ve doğrusal programlama kullanılarak portföy optimizasyon çerçevelerine dahil edilebilir. Dördüncüsü, CVaR kuyruğun şekline daha duyarlıdır; kalın kuyruklu dağılımlar maddi olarak daha yüksek CVaR üretir ve VaR'ın gizleyebileceği kuyruk riskinin dürüst bir resmini verir.
Beklenen Açık için Basel III FRTB gerekliliği nedir?
Basel III'ün piyasa riski çerçevesi olan Ticaret Kitabının Temel İncelemesi (FRTB), birincil sermaye ölçütü olarak %99 VaR'ı %97,5 Beklenen Açık ile değiştirdi. Temel gereklilikler şunları içermektedir: ES, 10 iş günlük likidite ufku kullanılarak hesaplanmalıdır (eski 10 günlük 1 günlük ölçeklendirme değil); farklı varlık sınıflarının farklı likidite ufukları vardır (büyük ölçekli hisse senetleri için 10 günden bazı kredi ürünleri için 120 güne kadar); ES, stresli bir tarihsel döneme göre kalibre edilmelidir; ve bankaların karşılaştırma için stressiz bir ES hesaplaması da gerekir. Çerçeve, uluslararası alanda faaliyet gösteren büyük bankalar için 2023'te yürürlüğe girdi ve Basel III'ün tam uygulaması çeşitli bölgelerde 2025-2028'e kadar tamamlandı.
Farklı güven seviyelerinde VaR ile CVaR arasındaki ilişki nedir?
Normal dağılmış getiriler için ES/VaR oranı güven seviyesinin sabit bir fonksiyonudur. %95'lik ES, VaR'dan yaklaşık %25 daha yüksektir. %99'luk ES, VaR'dan yaklaşık %14 daha yüksektir. %99,9'luk ES yaklaşık %8 daha yüksektir. Bununla birlikte, gerçek finansal getirileri daha iyi tanımlayan kalın kuyruklu (leptokurtik) dağılımlar için oran önemli ölçüde daha yüksektir. 4 serbestlik derecesine sahip bir Öğrencinin t dağılımı, normal duruma göre %50-100 daha yüksek ES/VaR oranları üretir. Bu nedenle tarihsel veya Monte Carlo simülasyon yöntemleri tipik olarak parametrik normal modellerden daha yüksek CVaR üretir.
CVaR piyasa stresi dönemlerinde nasıl değişir?
CVaR, stres dönemlerinde önemli ölçüde artar çünkü: (1) portföy oynaklığı artar, tüm zarar dağılımını sağa kaydırır; (2) krizler sırasında varlıklar arasındaki korelasyonlar 1,0'a doğru yükselir, bu da çeşitlendirme faydalarını azaltır; (3) getiri dağılımları daha negatif çarpık ve kalın kuyruklu hale gelir ve kuyruk kayıplarını volatilitenin tek başına öngörebileceğinin ötesinde artırır. 2008 krizi sırasında, tipik günlük VaR tahminleri, ima edilen %1 olasılıktan 10-20 kat daha sık ihlal edildi; bu da, sakin dönemlere göre kalibre edilen tarihsel CVaR tahminlerinin, krizlerdeki kuyruk riskini ciddi şekilde eksik gösterdiğini ortaya koyuyor. Bu nedenle FRTB stresli dönem kalibrasyonu gerektirir.
CVaR portföy optimizasyonu için kullanılabilir mi?
Evet ve bu, CVaR'ın VaR'a göre en önemli pratik avantajlarından biridir. Rockafeller ve Uryasev (2000), CVaR minimizasyonunun doğrusal bir program olarak formüle edilebileceğini ve bunun büyük portföyler için bile hesaplama açısından izlenebilir hale getirilebileceğini gösterdi. Ortalama-CVaR portföy optimizasyon çerçevesi, belirli bir beklenen getiri için CVaR'yi en aza indirir (ortalama-varyans Markowitz optimizasyonuna benzer), ancak kuyruk riskini amaç fonksiyonuna dahil eder. Bu, beklenen getiride mütevazı bir maliyetle, ortalama varyanslı optimal portföylerle karşılaştırıldığında aşırı olaylara karşı daha dayanıklı portföyler üretir. Birçok kurumsal risk yöneticisi artık birincil portföy oluşturma çerçevesi olarak ortalama CVaR optimizasyonunu kullanıyor.
CVaR için geriye dönük test nedir ve neden zordur?
Geriye dönük VaR testi basittir: Gerçek kayıpların VaR tahminini kaç gün aştığını sayın ve beklenen sıklıkla karşılaştırın (örneğin, %99 VaR için %1). CVaR geriye dönük testi daha zordur çünkü CVaR kuyruk olaylarına bağlı ortalama bir koşuldur ve kuyruk olayları nadirdir, bu da sınırlı verilerle istatistiksel çıkarımı zorlaştırır. Testler şunları içerir: (1) koşullu kapsam testleri - VaR ortalamasının ötesindeki kayıplar tahmin edilen CVaR'ye ulaşır mı? (2) Acerbi-Szekely spektral testleri — tüm kuyruk dağılımının karşılaştırılması. Kuyruk olayları nadir olduğundan, CVaR geriye dönük testlerinin istatistiksel gücü düşüktür ve orta derecede eksik tahminleri bile tespit etmek için uzun yıllara dayanan veriler gerekir. Bu, niceliksel risk yönetiminde aktif bir araştırma alanıdır.
CVaR'ın stres testinden farkı nedir?
CVaR, mevcut dağılım modeli göz önüne alındığında ortalama kuyruk kaybının istatistiksel bir tahminidir. Stres testi, genellikle tarihsel krizler (2008 GFC, COVID-19 çöküşü, 1987 Kara Pazartesi) veya varsayımsal olaylar (jeopolitik şok, merkez bankası politikasının tersine dönmesi, sektörün çöküşü) gibi belirli en kötü senaryoları inceler. CVaR modele bağlıdır ve modellenen dağılım altında ortalama kuyruk davranışını yakalar; Stres testleri, istatistiksel olasılıklarına bakılmaksızın belirli senaryo kayıplarını yakalar. En iyi uygulama her ikisini de birleştirir: Sürekli günlük risk izleme ve sermaye tahsisi için CVaR, senaryoya özel hazırlık için stres testi ve yönetim kurulu düzeyinde risk iletişimi.
Kaçınılması Gereken Yaygın Hatalar
▾
- !CVaR'ı VaR ile karıştırmak — VaR bir eşiktir, CVaR ise bu eşiğin ötesindeki bir ortalamadır.
- !Tipik olarak daha kalın kuyrukları ortaya çıkaran, tarihsel simülasyona karşı doğrulama yapmadan tek yöntem olarak normal dağılımlı parametrik CVaR'yi kullanmak.
- !Düzenleyici sermaye amacıyla FRTB'nin gerektirdiği gibi stresli bir tarihsel döneme göre kalibre edilmemesi.
- !Korelasyon yapısını hesaba katmadan CVaR'ı iş kollarına katkı maddesi olarak ele almak.
- !Likidite ufkunun göz ardı edilmesi: 1 günlük CVaR, bir günde satılamayan likit olmayan pozisyonlar için uygun değildir.
Uzman İpucu
Her zaman VaR ve CVaR'ı CVaR/VaR oranıyla birlikte rapor edin. %99 güvenle 1,3-1,5'in çok üzerinde bir oran, getiri dağılımında kalın kuyruklara işaret eder ve VaR'ın kuyruk olaylarının şiddetini önemli ölçüde eksik tahmin ettiği konusunda uyarıda bulunur.
Biliyor muydunuz?
Resmi bir risk ölçüsü olarak CVaR, Rockafeller ve Uryasev tarafından 2000 yılında Journal of Risk'te yayınlanan 'Koşullu Riske Maruz Değerin Optimizasyonu' makalesinde tanıtıldı. Aynı makale, CVaR'ın basit bir doğrusal programlama problemi yoluyla nasıl hesaplanabileceğini gösterdi ve portföy CVaR minimizasyonunu ilk kez pratik olarak mümkün hale getirdi; bu, niceliksel risk yönetiminde büyük bir ilerlemedir.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Kaynaklar
- ›Rockafeller ve Uryasev (2000): Koşullu Riske Maruz Değerin Optimizasyonu, Journal of Risk
- ›Basel Komitesi: Piyasa Riskine İlişkin Asgari Sermaye Gereksinimleri (FRTB, 2019)
- ›McNeil, Frey & Embrechts: Kantitatif Risk Yönetimi (2. baskı), Princeton University Press
- ›Investopedia: Koşullu Riske Maruz Değer (CVaR)
Haftalık Matematik İpuçları Alın
Her hafta hesap makinesi ipuçları alan 12.000+ aboneye katılın.