とは何か VaR Backtesting Calculator?
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VaR バックテストは、予測された VaR 推定値とその後実現されたポートフォリオの損益を比較することにより、バリュー アット リスク モデルを検証する統計プロセスです。超過（または「例外」）は、実際のポートフォリオ損失がその日の予測 VaR を超えた日に発生します。正しく指定された 99% VaR モデルの場合、取引日の約 1% で超過が発生すると予想されます。これは、250 取引日のカレンダーで年間約 2 ～ 3 日です。バックテストでは、観察された超過数がモデルの予測と統計的に一致しているかどうかが問われます。 バーゼル委員会は、市場リスク修正条項（1996 年）で初めて VaR バックテスト要件を正式に定め、その後の協定を通じてその要件を洗練してきました。バーゼル III では、市場リスク資本の内部 VaR モデルを使用している銀行は、実際の損益に対して 99% の 1 日 VaR 推定値のバックテストを毎日実施する必要があります。規制信号機のフレームワークは、直近 250 営業日の超過数に基づいてバックテスト結果を分類します。0 ～ 4 回の超過 (グリーン ゾーン) — モデルは合格。 5 ～ 9 の超過 (イエロー ゾーン) — 資本乗数が増加しました。 10 以上の超過 (レッド ゾーン) - モデルが失敗し、修正が必要になり、標準化されたアプローチに移行する可能性があります。 Kupiec (1995) の故障率 (POF) テストは基礎的な統計テストです。これは、尤度比テストを使用して、観察された超過の数が規定の VaR 信頼レベルと一致しているかどうかをテストします。帰無仮説は、真の超過確率が (1 - 信頼水準) に等しいというものです。 Christoffersen (1998) の条件付きカバレッジ テストは、時間の経過とともに超過が独立しているかどうかもテストすることで、Kupiec を改良しています。有効な VaR モデルには超過がクラスター化してはなりません (これは、モデルがボラティリティの変化に適応するのが遅いことを示します)。 バックテストだけでは、VaR モデルを完全に検証するには不十分です。バーゼル FRTB では、損益帰属 (モデルのリスク要因を使用して毎日の損益を説明する) が必要です。仮想損益（昨日の市場変化で再価格付けされた現在のポートフォリオポジションを使用）は、（リスクモデルからの）理論的損益と一致している必要があります。バックテストに合格しても損益帰属に失敗したモデルには、依然として重大なモデルリスクが存在する可能性があります。 モデルの検証はバックテストにとどまらず、感度分析、ストレス テスト、代替モデルに対するベンチマーク、モデリングの仮定のレビューなどにまで及びます。超過規模分析 (例外日の損失は VaR よりはるかに大きく、ファット テールを示唆していますか?) は、カウントベースのアプローチを補完します。
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公式
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予想される超過 = (1 − 信頼度) × N
クピエック LR = −2 × [ln((1−p)^(N−x) × p^x) − ln((1−x/N)^(N−x) × (x/N)^x)]
臨界値: 5% での χ²(1) = 3.84 | 5% での χ²(2) = 5.99 (クリストファーセン)変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| N | 総観察日数 | days | バックテストウィンドウの取引日数。バーゼルでは最低 250 取引日 (約 1 暦年) が必要です。 |
| x | 超過数 | count | 実際の損益損失が VaR 推定値を上回った日。期待値 = (1−信頼度) × N。 |
| p | 予想超過率 | % | 記載されている VaR モデルの超過率: 99% VaR の場合は 1%、95% VaR の場合は 5%。 |
| LR_POF | Kupiec LR 検定統計量 | chi-squared | 観測された超過率が期待される率と一致するかどうかをテストするための尤度比。 χ²(1) 臨界値と比較。 |
| CC_test | クリストファーセン統計 | chi-squared | 正しい割合と超過の独立性の両方をテストします。 χ²(2) 分布;例外のクラスタリングを検出します。 |
方法 VaR Backtesting Calculator
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- 1毎日の VaR 推定値 (指定された信頼レベルで) とバックテスト ウィンドウ (最低 250 取引日) の実際の日次損益を収集します。
- 2超過のカウント: 損失 > VaR 推定値 (つまり、実際の損益が -VaR よりもマイナスである日)。
- 3予想される超過を計算します: E[x] = (1-信頼度) × N。250 日にわたる 99% VaR の場合: E[x] = 2.5。
- 4Kupiec POF 検定を適用します。次の式を使用して LR 統計を計算します。 5% の有意性で χ²(1) = 3.84 と比較します。 LR > 3.84 の場合、モデルはテストに不合格になります。
- 5Christoffersen 条件付きカバレッジ テストを適用します。連続日超過の 2×2 推移行列を構築します。超過の独立性をテストします。
- 6バーゼル信号機フレームワークを適用: 0 ～ 4 件の例外 = 緑色 (アクションなし)。 5 ～ 9 = 黄色 (資本追加)。 10+ = 赤 (モデルの失敗)。
- 7例外の大きさを分析します。例外日の損失は VaR をわずかに上回るだけですか、それとも劇的に大きいですか?大幅な超過はファットテールの過小評価を示唆します。
解いた例
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モデルは合格 — 3 つの超過は 99% の VaR 予想と一致
予想超過 = 1% × 250 = 2.5。観測値 = 3。LR_POF = −2 × [ln((0.99)^247 × (0.01)^3) − ln((0.988)^247 × (0.012)^3)] ≈ 0.076。これは、χ²(1) の臨界値 3.84 をはるかに下回ります。モデルを拒否することはできません。 250 日間で 3 回の超過は、99% VaR モデルと非常に一致しています。バーゼルの信号機: グリーン ゾーン (0 ～ 4 の例外) — キャピタル マルチプライヤー ペナルティなし。これは、適切に仕様化され、定期的に更新される VaR モデルで予想される結果です。
モデルはひどく失敗します — 12 回の超過は、実際のリスクが VaR モデル推定値の 5 倍であることを意味します
超過数は 12 で、予想 2.5 に対して超過数は 4.8 倍です。 LR = −2 × [ln(0.99^238 × 0.01^12) − ln(0.952^238 × 0.048^12)] ≈ 24.1 であり、χ²(1)=3.84 を大幅に超えています。モデルは、合理的な有意水準で統計的に拒否されます。バーゼル レッド ゾーン (10 以上の例外): 銀行はモデルの失敗を規制当局に説明する必要があり、資本乗数が増加し、銀行は資本に対する標準化されたアプローチへの切り替えが求められる場合があります。一般的な原因: ボラティリティの過小評価、無視されたファットテール、不十分な相関キャプチャ、またはキャリブレーション範囲外で適用されたモデル。
独立性の失敗は、モデルがボラティリティ レジームの変化にすぐに適応できないことを意味します
99% VaR で 250 日間に 5 回の超過は、バーゼルのイエロー ゾーンにあります。 Kupiec POF テストはかろうじて合格する可能性があります (ボーダーライン)。ただし、5 件中 4 件の例外が連続して発生することは、独立性の前提に大きく違反します。 Christoffersen の CC テストでは、遷移行列 (非例外が例外となった翌日) と (例外が例外となった翌日) を計算します。 p(例外 | 前回の例外) >> p(例外 | 前回の非例外) の場合、独立性は失敗します。クラスタリングは、VaR モデルがボラティリティのスパイクに応答するのが遅いことを示しています。おそらく、適応推定量ではなく、長い履歴ウィンドウまたはローリング ボラティリティを使用していると思われます。
ある壊滅的な日 (210 万ドル = 4.2×VaR) は、ファットテールが過小評価されていることを示唆しています
5 つの例外のうち 4 つは VaR (48 万ドル～55 万ドル) をわずかに上回るだけです。これらは予想されており、適切に調整されたモデルと一致しています。しかしある日、VaR 推定の 4.2 倍にあたる 210 万ドルの損失が発生しました。正規分布 (損失の確率 > 4.2σ ≈ 0.001%) の下では、この異常値は非常に考えられません。これは、リターン分布に、VaR モデルが捕捉していないファットテールがあることを示唆しています。平均例外 = $832,000 は VaR の 1.66 倍です。99% の通常の VaR では約 1.14 倍と予想されます。これもファット テールを示唆しています。例外マグニチュード分析では、カウント (5) が黄色のゾーンにある場合でもモデルのレビューがトリガーされます。
実際の応用
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バーゼル III FRTB に基づく銀行の規制自己資本報告。正確な var バック テストの計算が情報に基づいた意思決定、戦略的計画、およびパフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおける Var バック テストの重要な応用分野を表します。
内部モデルの検証とモデルのリスク管理。専門的および分析的なコンテキストにおける Var バック テストの重要な応用分野を表します。正確な var バック テストの計算は、情報に基づいた意思決定、戦略的計画、およびパフォーマンスの最適化を直接サポートします。
ヘッジファンドのリスクモデルのパフォーマンスモニタリング。正確なVARバックテストの計算が、情報に基づいた意思決定、戦略計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおけるVARバックテストの重要な応用分野を表します。
ソルベンシー II に基づく保険会社のリスク モデル検証。正確な var バック テストの計算が情報に基づいた意思決定、戦略的計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする、専門的および分析的なコンテキストにおける Var バック テストの重要な応用分野を表します。
トレーディングデスクのパフォーマンス帰属 — 損益とリスク要因エクスポージャーを区別し、正確な var バック テストの計算が情報に基づいた意思決定、戦略的計画、パフォーマンスの最適化を直接サポートする専門的および分析的なコンテキストにおける Var バック テストの重要な応用分野を表します。
特殊なケース
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Var バック テストでは、このシナリオでは var バック テストの結果を解釈する際に追加の注意が必要です。標準的な計算式では、この特殊なケースに存在するすべての要因が完全には説明されていない可能性があるため、補足的な分析や専門家への相談が必要になる場合があります。専門的なベストプラクティスには、前提条件の文書化、感度分析の実行、var バックテストの計算が非標準の領域に陥った場合の代替方法との結果の相互参照が含まれます。
Var Back Testing での入力値が極端に大きいか小さい場合、var が押し戻される可能性があります。
Var Back Testing の入力値が極端に大きいか小さい場合、Var Back Testing の計算が一般的な動作範囲を超える可能性があります。数学的には有効ですが、極端な入力からの結果は現実的なvarバックテストのシナリオを反映していない可能性があるため、慎重に解釈する必要があります。専門的な var バックテスト設定では、極端な値は測定エラー、異常な状態、または追加の分析に値する特殊なケースを示すことがよくあります。単一の極端な場合の計算に依存するのではなく、感度分析を使用して、妥当な入力範囲全体で結果がどのように変化するかを理解します。
Var バック テストでは、このシナリオでは var バック テストの結果を解釈する際に追加の注意が必要です。標準的な計算式では、この特殊なケースに存在するすべての要因が完全には説明されていない可能性があるため、補足的な分析や専門家への相談が必要になる場合があります。専門的なベストプラクティスには、前提条件の文書化、感度分析の実行、var バックテストの計算が非標準の領域に陥った場合の代替方法との結果の相互参照が含まれます。
バーゼル信号機: 250 日にわたる 99% VaR の例外しきい値
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| 例外 (x) | 確率 (モデルが正しい場合) | 累積確率 | ゾーン | 資本乗数 k |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 8.1% | 8.1% | 緑 | 3.00 |
| 1 | 20.5% | 28.6% | 緑 | 3.00 |
| 2 | 25.7% | 54.4% | 緑 | 3.00 |
| 3 | 21.5% | 75.9% | 緑 | 3.00 |
| 4 | 13.5% | 89.4% | 緑 | 3.00 |
| 5 | 6.8% | 96.2% | 黄色 | 3.40 |
| 6–9 | 3.5% | 99.7% | 黄色 | 3.50～3.85 |
| 10+ | 0.3% | ≥99.7% | Red | 4.00 |
よくある質問
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VaR モデルにとってバックテストが重要なのはなぜですか?
バックテストは、VaR モデルが主張するキャリブレーションを生成することを経験的に検証することです。 99% VaR を主張する銀行は、定義上、約 1% の確率で VaR を超える損失を経験するはずです。バックテストを行わないと、モデルは説明責任のメカニズムを持たずに体系的にリスクを過小評価する可能性があります（VaR が低すぎるため、資本要件が低下します）。バックテストは規制上のフィードバック ループを生み出します。失敗したモデルには資本追加というペナルティが課せられ、銀行が適切に調整されたモデルを維持するための金銭的インセンティブが生まれます。バックテストは、市場力学の変化によりモデルが時代遅れになる時期をリスク管理者が特定するのにも役立ちます。
バックテストにおけるクリーン損益とダーティ損益の違いは何ですか?
クリーン損益 (仮説損益) は、今日の市場価格を使用してリプライスされた昨日のポートフォリオ ポジションの損益を測定します。これにより、新しい取引、手数料、またはポートフォリオ変更の影響を受けずに純粋な市場リスク エクスポージャが分離されます。 Dirty P&L (実際の損益) には、トレーディング収益、新規ポジション、手数料収入、運用項目など、あらゆるソースからのすべての損益が含まれます。 VaR モデルは進化するポートフォリオではなく、既存のポートフォリオのリスクを推定するため、バーゼル FRTB では、仮説上のクリーンな損益に対するバックテストが必要です。 VaR を汚い損益と比較すると、取引日が良好であればリスク モデルの失敗が目立たなくなる可能性があり、その逆も同様です。
信頼性の高いモデル検証には何年のバックテストが必要ですか?
最低規制要件は 250 営業日 (約 1 年) です。ただし、これは統計的に非常に限定的です。99% VaR では、予想される例外は年間 2.5 件のみ発生します。 2.5 個の観測値で推定される例外率の標準誤差は非常に高く、わずか 250 個の観測値で 0.5%、1%、1.5%、または 2% の真の例外率を生成するモデルを区別することは不可能です。確実な検証を行うには、3 ～ 5 年分のデータが推奨されます。それでも、Kupiec テストは小さな系統誤差を識別する能力が低いです。このため、バックテストと並行して、複数の統計テストと補足的な検証方法 (ストレス テスト、損益帰属) が必要となります。
VaR バックテスト用のバーゼル信号機システムとは何ですか?
バーゼル信号機システム (1996 年に導入され、バーゼル III で更新) は、直近 250 営業日のバックテスト例外の数に基づいて VaR モデルのパフォーマンスを分類します。 グリーン ゾーン (例外 0 ～ 4 件) — モデルは合格、死刑なし。イエロー ゾーン (5 ～ 9 の例外) — 資本乗数 k は、数値に応じて 3.0 から 3.4 ～ 4.0 に増加し、規制上の監視が強化されます。レッド ゾーン (10 個以上の例外) — モデルが失敗し、k=4.0 以上の場合、銀行は標準化されたアプローチに切り替える必要がある場合があります。しきい値は、250 日のサンプルについてタイプ I エラー (良好なモデルの拒否) とタイプ II エラー (不良モデルの受け入れ) のバランスをとるように設定されています。
損益帰属とは何ですか?また、それはバックテストとどのように関係しますか?
損益帰属 (PLA) では、銀行は、毎日の実際の損益を、VaR モデルで捕捉されたリスク要因の寄与に分解して説明する必要があります。バーゼル FRTB では、VaR モデルの理論上の損益（モデルのリスク要因を使用）と実際の仮想損益との差は小さく、実際の損益と相関関係がなければなりません。モデルでは説明できない重大な損益が存在する場合 (モデルの残差が大きい場合)、これは、VaR モデルに重要なリスク要因が欠落しており、リスクが過小評価されている可能性があることを示唆しています。 PLA はトレーディング デスク レベルで実行されますが、バックテストも FRTB のデスク レベルで実行されます。
バックテストでは、頻度だけでなくモデルの仕様ミスも検出できますか?
標準的な Kupiec バックテストでは、誤った超過頻度のみが検出されます。 (1) テール形状が正しくない - モデルが例外日の損失重大度を過小評価している場合。 (2) 誤ったリスク因子感度 - モデルが頻度を正しく予測しているが、その理由が間違っている場合。 (3) 相関関係の誤り – 多様化の利点が誇張されている場合。 Christoffersen テストには独立性テストが追加されています。損失関数ベースのテスト (予想される損益分布と実際の損益分布の比較) と回帰ベースのテストにより、追加の診断能力が得られます。完全なモデル検証プログラムでは、複数のテスト、ストレス テスト、感度分析、専門家によるモデル レビューを使用して、さまざまなタイプの仕様ミスを特定します。
VaR モデルで例外が多すぎる場合、リスク管理者は何をすべきでしょうか?
過剰な例外は、構造化モデルのレビュー プロセスをトリガーします。 (1) 各例外を調査します。損失は、特定のイベント、データ エラー、またはモデルの真の欠陥によって引き起こされたものでしょうか? (2) ボラティリティの推定値が最新であるかどうかを確認します。急速に変化する市場では、古いボラティリティの推定値が VaR の過小評価の一般的な原因です。 (3) 相関関係の仮定を確認する — 危機相関関係が適切な場合に使用されているかどうかを確認します。 (4) 別の分布仮定をテストします。正規分布を t 分布または履歴シミュレーションに置き換えます。 (5) モデルによって完全には捉えられていない集中リスクを調査します。 (6) モデルをすぐに修正できない場合は、モデルが再調整されるまで資本チャージを増やすか、ポジション制限を引き下げます。
避けるべきよくある間違い
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- !前日のポジション保持による仮説上のクリーンな損益ではなく、実際のダーティな損益（新規取引と手数料を含む）に対するバックテスト。
- !バックテスト期間が短すぎる (< 250 日) ため、良いモデルと悪いモデルを区別する統計的検出力が不十分です。
- !例外クラスターの調査に失敗する - クラスター化によってモデルの更新エラーが明らかになった場合、すべての例外を独立したイベントとして扱います。
- !例外の大きさを無視する - 2 つの例外が両方とも 5 倍の VaR であるモデルは、それぞれが VaR をわずかに上回る 4 つの例外よりも警戒すべきです。
- !トレーディングデスクレベル（FRTB要件）でのバックテストは行わず、デスクレベルの失敗を隠すことができる全社的なバックテストのみを実行します。
プロのヒント
過去 250 日間の累積例外を緑/黄/赤のしきい値とともに示すローリング バックテスト グラフを維持します。これを毎日プロットすると、モデルがイエロー ゾーンに入る前にモデルの劣化が傾向として表示され、プロアクティブな再キャリブレーションが可能になります。
ご存知でしたか？
バーゼルの信号機バックテストの枠組みは、一部の銀行のVaRモデルが内部検証に合格しているにもかかわらず、体系的に低いVaR推定値を生成しており、事実上資本システムを騙していることを規制当局が発見したことを受けて、1996年の市場リスク修正で導入された。緑/黄/赤のゾーンを持つ 250 日、99% のしきい値は、良好なモデルに誤ってペナルティを与える (タイプ I エラー) と、悪いモデルの検出に失敗する (タイプ II エラー) という 2 つの競合するリスクのバランスを取るために特に選択されました。現在でも、このフレームワークは統計的に能力が低いと認識されています。レッド ゾーンをトリガーするのに十分な証拠が蓄積されるまで、モデルの失敗が何ヶ月も継続する必要があります。
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参考文献
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