ما هو Efficient Frontier Tool?
▾
الحدود الفعالة هي مجموعة المحافظ المثالية التي تقدم أعلى عائد متوقع لأي مستوى معين من المخاطر (كما تم قياسه بالانحراف المعياري للمحفظة)، أو ما يعادله، أدنى خطر لأي عائد متوقع معين. تم تقديمه من قبل هاري ماركويتز في ورقته البحثية المميزة عام 1952 بعنوان "اختيار المحفظة" والتي نشرت في مجلة المالية - وهو العمل الذي أكسبه جائزة نوبل في العلوم الاقتصادية في عام 1990 وأدى إلى تغيير جذري في طريقة تفكير المستثمرين في بناء المحفظة. كانت رؤية ماركويتز الرئيسية هي أن المستثمرين لا ينبغي لهم تقييم الأصول بشكل منفصل، بل في سياق كيفية مساهمتها في مخاطر المحفظة الإجمالية. وعلى وجه التحديد، فإن الجمع بين الأصول غير المترابطة بشكل كامل (الارتباط أقل من 1.0) يؤدي إلى خفض إجمالي مخاطر المحفظة إلى ما دون المتوسط المرجح لمخاطر الأصول الفردية ــ وهي ظاهرة تسمى التنويع. وكلما انخفض الارتباط بين الأصول، كلما زادت فوائد التنويع وزاد التحسن في مقايضة المخاطر والعائدات في المحفظة. يتم إنشاء الحدود الفعالة من خلال حل مشكلة التحسين الرياضي: بالنظر إلى مجموعة من الأصول ذات العوائد المتوقعة المعروفة، والتقلبات، والعلاقات الزوجية، ابحث عن جميع المجموعات الممكنة من الأوزان التي تقلل من تباين المحفظة (أو ما يعادله، الانحراف المعياري) لكل مستوى من العائد المتوقع. ويرسم المنحنى الناتج في مساحة المخاطرة والعائد حدود المحافظ التي يمكن تحقيقها ــ أي محفظة أقل من الحدود تكون دون المستوى الأمثل (خطيرة للغاية بالنسبة لمستوى عوائدها)، وأي محفظة فوق الحدود غير قابلة للتحقيق رياضيا. يعمل خط سوق رأس المال (CML) على توسيع مفهوم الحدود الفعالة من خلال تقديم أصول خالية من المخاطر. عند دمجها مع المحافظ الخطرة، فإن الأصول الخالية من المخاطر تمكن المستثمرين من تحقيق أي نقطة على CML من خلال الجمع بين محفظة Tangency (المحفظة الخطرة على الحدود الفعالة التي تزيد من نسبة شارب) مع الاقتراض أو الإقراض الخالي من المخاطر. تعتبر محفظة Tangency بمثابة التوزيع الأمثل للمحفظة المحفوفة بالمخاطر من الناحية النظرية للمستثمرين الذين يمكنهم دمجها مع أصول خالية من المخاطر. يتم استخدام الإطار الحدودي الفعال في توزيع الأصول الإستراتيجية، وصياغة سياسة استثمار صناديق التقاعد، وإنشاء محفظة الهبات، ومحركات تحسين المستشار الآلي، وأبحاث التمويل الأكاديمية. وعلى الرغم من الانتقادات المتعلقة بحساسية النتائج لافتراضات المدخلات (وخاصة العوائد المتوقعة)، يظل الإطار هو النهج الرسمي السائد لتحسين المحفظة.
DigiCalcs delivers precision-engineered tools for engineers and STEM professionals.
الصيغة
▾
تصغير σ²_p = Σ_i Σ_j w_i × w_j × Cov(R_i, R_j)
تخضع لـ: Σ w_i = 1، E(R_p) = الهدف، w_i ≥ 0 (طويل فقط)
محفظة الظل: الحد الأقصى (E(R_p) − R_f) / σ_pشرح المتغيرات
▾
| رمز | الاسم | وحدة | الوصف |
|---|---|---|---|
| E(R_p) | العائد المتوقع للمحفظة | % per year | المتوسط المرجح للعوائد المتوقعة للأصول الفردية: E(R_p) = Σ w_i × E(R_i). |
| σ_p | الانحراف المعياري للمحفظة | % per year | إجمالي مخاطر المحفظة: σ_p = √(Σ_i Σ_j w_i × w_j × σ_i × σ_j × ρ_{ij}). |
| w_i | وزن الأصول | % (0 to 1) | نسبة المحفظة المستثمرة في الأصول i؛ يجب أن يكون مجموع جميع الأوزان 1.0. |
| ρ_{ij} | معامل الارتباط | dimensionless (−1 to +1) | العلاقة بين عوائد الأصول i و j؛ وتنتج الارتباطات المنخفضة فوائد تنويع أكبر. |
| Sharpe | نسبة شارب | dimensionless | مقياس العائد المعدل حسب المخاطر = (E(R_p) − R_f) / σ_p; تم تعظيمه في Tangency Portfolio على الحدود الفعالة. |
| R_f | معدل خالي من المخاطر | % per year | عودة الأصول الخالية من المخاطر؛ يستخدم لتحديد خط سوق رأس المال المماس للحدود الفعالة. |
كيفية Efficient Frontier Tool
▾
- 1جمع بيانات العائدات التاريخية لجميع الأصول المرشحة خلال فترة مشتركة. قم بحساب العائد المتوقع لكل أصل (عادة المتوسط التاريخي أو التقدير المستقبلي)، والتباين/الانحراف المعياري لعوائد كل أصل، ومصفوفة الارتباط الزوجي بين جميع أزواج الأصول.
- 2أنشئ مصفوفة التغاير المشترك: Cov(R_i, R_j) = ρ_{ij} × σ_i × σ_j لكل زوج. يجب أن تكون مصفوفة التغاير موجبة وشبه محددة حتى يكون للتحسين حلول صالحة.
- 3قم بإعداد مشكلة تحسين المحفظة: تقليل تباين المحفظة (w^T Σ w) مع مراعاة قيد العائد المتوقع المستهدف (w^T μ = μ_target)، وقيد الميزانية (Σ w_i = 1)، وأي قيود إضافية (على سبيل المثال، لا يوجد بيع على المكشوف: w_i ≥ 0).
- 4حل مشكلة البرمجة التربيعية لمجموعة من العوائد المتوقعة المستهدفة - من الحد الأدنى لمحفظة التباين (أقصى نقطة على الحدود الفعالة) إلى الحد الأقصى لمحفظة العائد (100٪ في الأصول ذات العائد الأعلى). يعطي كل حل أوزان المحفظة والعائد المتوقع والانحراف المعياري.
- 5قم برسم جميع مجموعات المحفظة الفعالة كأزواج (σ_p، E(R_p)) في مساحة المخاطرة والعائد. الجزء العلوي من المنحنى المكافئ الناتج هو الحدود الفعالة؛ الجزء السفلي (أقل من الحد الأدنى لمحفظة التباين) مهيمن وغير فعال.
- 6حدد المحفظة المماسية من خلال رسم خط من المعدل الخالي من المخاطر على المحور الصادي الذي يكون مماسًا لحدود الكفاءة. تعمل نقطة الظل على زيادة نسبة شارب إلى الحد الأقصى بين جميع المحافظ الاستثمارية الموجودة على الحدود. هذه هي المحفظة المحفوفة بالمخاطر المثالية ضمن إطار عمل CAPM.
- 7حدد المحفظة المثالية للمستثمر على طول خط سوق رأس المال بناءً على قدرتهم على تحمل المخاطر: يحتفظ المستثمرون الذين يتجنبون المخاطر بمزيج من الأصول الخالية من المخاطر ومحفظة Tangency؛ يقترض المستثمرون الباحثون عن المخاطر بمعدل خالي من المخاطر للاستفادة من محفظة Tangency.
أمثلة محلولة
▾
يوفر الارتباط المنخفض (0.10) تنوعًا كبيرًا - مخاطر المحفظة أقل من المخاطر الفردية لأي من الأصول.
مع ارتباط منخفض قدره 0.10، فإن الجمع بين الأسهم والسندات يقلل بشكل كبير من مخاطر المحفظة. تحتوي محفظة التباين الدنيا على ما يقرب من 25٪ من الأسهم و 75٪ من السندات، مما يحقق انحرافًا معياريًا للمحفظة يبلغ حوالي 5.9٪ - وهو أقل بكثير من تقلبات الأسهم (16٪) وتقلب السندات (6٪) عند دمجهما عند هذا الترجيح. تستهدف المحفظة المؤقتة الحد الأقصى لنسبة شارب مع معدل خالٍ من المخاطر بنسبة 3%، وتحتفظ بحوالي 60% من الأسهم و40% من السندات - تظهر المحفظة الكلاسيكية 60/40 بشكل طبيعي من إطار التحسين هذا عندما تعكس المدخلات المتوسطات التاريخية طويلة المدى.
من الناحية النظرية، يسمح الارتباط السلبي التام بالتخلص الكامل من المخاطر - وهو متطرف نظري نادرًا ما يوجد في الممارسة العملية.
مع الارتباط السلبي التام (ρ = −1.0)، من الممكن نظريًا دمج أصلين في محفظة خالية من المخاطر. الأوزان التي تقضي على جميع مخاطر المحفظة هي: w_A = σ_B / (σ_A + σ_B) = 10/(12+10) = 45.5% وw_B = 54.5%. والمحفظة الناتجة لديها انحراف معياري صفر - عائد مضمون يبلغ حوالي 6.9٪ (متوسط العائد المرجح بهذه الأوزان) مع عدم وجود تقلبات. وتوضح هذه الحالة القصوى القوة القصوى للتنويع وتفسر السبب وراء سعي المستثمرين إلى الأصول ذات الارتباطات المنخفضة أو السلبية، وخاصة استراتيجيات التحوط، والذهب، والسندات نسبة إلى الأسهم.
تؤدي إضافة الذهب مع ارتباط قريب من الصفر إلى الأسهم إلى تحسين الحدود على الرغم من التقلبات العالية للذهب.
إن إضافة الذهب كأصل ثالث يؤدي إلى توسيع حدود الكفاءة إلى الأعلى وإلى اليسار، الأمر الذي يؤدي إلى تحسين المقايضة بين المخاطر والعائدات القابلة للتحقيق. على الرغم من التقلبات الفردية العالية للذهب (18%)، إلا أن ارتباطه القريب من الصفر أو السلبي قليلاً مع الأسهم يوفر تنوعًا ذا مغزى. تخصص محفظة الظل ما يقرب من 12٪ للذهب، مما يغير الحدود ويزيد من الحد الأقصى لنسبة شارب التي يمكن تحقيقها. وهذا يدل على رؤية أساسية لماركويتز: الأصول ذات التقلبات العالية بشكل فردي لا تزال قادرة على تحسين كفاءة المحفظة إذا كان ارتباطها بالممتلكات الحالية منخفضا بما فيه الكفاية.
تعمل قيود العالم الحقيقي (عدم البيع على المكشوف، والحدود القصوى للصفقات) على تقليص المجموعة الممكنة ودفع الحدود إلى الداخل.
تفترض الحدود الفعالة النظرية أوزان غير مقيدة للمحفظة - يمكن للمستثمرين اتخاذ مراكز قصيرة (أوزان سلبية) لزيادة تقليل تباين المحفظة أو تعزيز العائد المتوقع. من الناحية العملية، يواجه معظم المستثمرين قيدًا طويل الأمد فقط (عدم البيع على المكشوف)، وحدود الحد الأقصى لحجم المركز (على سبيل المثال، لا يوجد حيازة واحدة> 10٪)، وحدود تركيز القطاع، وقيود أخرى. ويعمل كل قيد على تقليص المجموعة الممكنة من المحافظ ويدفع حدود الكفاءة إلى اليمين (يتطلب الأمر المزيد من المخاطرة للحصول على نفس العائد). إن المقارنة بين الحدود المقيدة وغير المقيدة تحدد تكلفة الفرصة البديلة للقيود الاستثمارية ــ وهي ممارسة بالغة الأهمية لتصميم المحافظ المؤسسية.
تطبيقات عملية
▾
التخصيص الاستراتيجي للأصول: تحديد الأوزان المستهدفة لصناديق التقاعد والأوقاف وصناديق الثروة السيادية
إنشاء محفظة Robo-advisor: التحسين الآلي الفعال لإنشاء محفظة العملاء
الاستثمار القائم على المسؤولية: تحسين محافظ الأصول لتعظيم حالة التمويل نظرا لخصائص المسؤولية
بناء محفظة عوامل الخطر: بناء محافظ فعالة قائمة على نموذج العامل عبر عوامل الأسهم
المنهج الدراسي للامتحان الأكاديمي وCFA: موضوع أساسي في إدارة المحافظ الكمية ونظرية التمويل الحديثة
حالات خاصة
▾
من الناحية العملية، تتطلب حالة الحافة هذه دراسة متأنية لأن الافتراضات القياسية قد لا تصمد. عند مواجهة هذا السيناريو في حسابات الأدوات الحدودية الفعالة، يجب على الممارسين التحقق من الشروط الحدودية، والتحقق من مخاطر القسمة على الصفر، والنظر في ما إذا كانت افتراضات النموذج تظل صالحة في ظل هذه الظروف القاسية.
من الناحية العملية، تتطلب حالة الحافة هذه دراسة متأنية لأن الافتراضات القياسية قد لا تصمد. عند مواجهة هذا السيناريو في حسابات الأدوات الحدودية الفعالة، يجب على الممارسين التحقق من الشروط الحدودية، والتحقق من مخاطر القسمة على الصفر، والنظر في ما إذا كانت افتراضات النموذج تظل صالحة في ظل هذه الظروف القاسية.
من الناحية العملية، تتطلب حالة الحافة هذه دراسة متأنية لأن الافتراضات القياسية قد لا تصمد. عند مواجهة هذا السيناريو في حسابات الأدوات الحدودية الفعالة، يجب على الممارسين التحقق من الشروط الحدودية، والتحقق من مخاطر القسمة على الصفر، والنظر في ما إذا كانت افتراضات النموذج تظل صالحة في ظل هذه الظروف القاسية.
مدخلات المخاطر والعوائد التاريخية لفئات الأصول من أجل التحليل الحدودي الفعال (الولايات المتحدة، المتوسطات طويلة المدى)
▾
| فئة الأصول | متوسط العائد السنوي | التطوير السنوي | الارتباط مقابل الأسهم الأمريكية |
|---|---|---|---|
| الأسهم ذات رأس المال الكبير في الولايات المتحدة | 10.0% | 15.5% | 1.00 |
| أسهم الشركات الصغيرة في الولايات المتحدة | 12.0% | 20.0% | 0.80 |
| التطوير الدولي عدالة | 8.5% | 16.5% | 0.75 |
| أسهم الأسواق الناشئة | 10.0% | 22.0% | 0.65 |
| السندات الأمريكية ذات الدرجة الاستثمارية | 4.5% | 6.5% | -0.05 |
| سندات الخزانة الأمريكية | 3.5% | 1.5% | −0.02 |
| ذهب | 6.5% | 18.0% | -0.05 |
| صناديق الاستثمار العقاري الأمريكية | 9.0% | 17.0% | 0.60 |
| السلع (واسعة) | 5.5% | 16.0% | 0.15 |
| السندات ذات العائد المرتفع | 6.5% | 10.0% | 0.55 |
أسئلة شائعة
▾
ما هو الحد الأدنى لمحفظة التباين؟
الحد الأدنى لمحفظة التباين (MVP) هو أقصى نقطة على الحدود الفعالة - مجموعة المحفظة التي تحقق أقل انحراف معياري ممكن بغض النظر عن العائد المتوقع. تم العثور عليه عن طريق تقليل تباين المحفظة دون أي قيود على العائد. يعد MVP مناسبًا للمستثمرين الذين يتجنبون المخاطرة بشدة والذين يعطون الأولوية للحفاظ على رأس المال قبل كل شيء. جميع المحافظ الموجودة على يسار MVP غير قابلة للتحقيق رياضياً، وجميع المحافظ التي تقع تحت MVP (في النصف السفلي من المنحنى المكافئ) غير فعالة لأن المحفظة ذات المخاطر المتساوية على الحدود العليا تقدم عائداً متوقعاً أعلى. عادةً ما يتم تحديد أوزان MVP باستخدام معكوس مصفوفة التغاير.
ما هو خط سوق رأس المال وكيف يرتبط بالحدود الفعالة؟
خط سوق رأس المال (CML) هو الخط من المعدل الخالي من المخاطر (على المحور الصادي) والذي يكون مماسًا لحدود الكفاءة. وهو يمثل جميع المجموعات الممكنة من الأصول الخالية من المخاطر (على سبيل المثال، أذون الخزانة) ومحفظة Tangency. وتهيمن كل نقطة على الحد الأدنى من المخاطر فوق المعدل الخالي من المخاطر على كل النقاط على الحدود الفعالة عند نفس مستوى المخاطر، لأن الأصول الخالية من المخاطر تمكن المستثمرين من خفض المخاطر إلى الصِفر من خلال الاحتفاظ بالمزيد من سندات الخزانة، أو زيادة العائدات إلى ما هو أبعد من محفظة Tangency من خلال الاقتراض بسعر خالي من المخاطر للاستفادة من المحفظة. بموجب افتراضات CAPM، يجب على جميع المستثمرين الاحتفاظ بمحفظة Tangency لتوزيعها المحفوف بالمخاطر، بغض النظر عن مدى تحمل المخاطر - حيث يقومون بتعديل المخاطر عن طريق تغيير المزيج مع الأصول الخالية من المخاطر.
ما هي القيود الرئيسية لتحسين متوسط التباين؟
يحتوي تحسين متوسط التباين (MVO) على العديد من القيود المهمة. أولاً، إنها حساسة للغاية لافتراضات المدخلات - فالتغيرات الصغيرة في العوائد المتوقعة تنتج تغييرات كبيرة في الأوزان المثالية (مشكلة "القمامة الواردة، القمامة الخارجة"). ثانيًا، يعتمد على البيانات التاريخية لتقدير التباينات، والتي قد لا تعكس العلاقات المستقبلية. ثالثا، غالبا ما تكون توزيعات العائد غير طبيعية (ذيول كبيرة، انحراف)، مما ينتهك الأساس النظري لاستخدام التباين كمقياس وحيد للمخاطر. رابعاً، يميل التحسين غير المقيد إلى إنتاج محافظ متطرفة ومركزة وغير عملية. خامسا، يتم تجاهل تكاليف المعاملات والضرائب. يعالج الممارسون هذه القيود من خلال تقدير الانكماش، ووجهات نظر Black-Litterman، والتحسين القوي، والنهج القائمة على القيود.
ما هو نموذج بلاك ليترمان ولماذا تم تطويره؟
يعالج نموذج بلاك-ليترمان، الذي طوره فيشر بلاك وروبرت ليترمان في جولدمان ساكس في عام 1990، القيود الأكثر خطورة في تحسين ماركويتز الكلاسيكي - الحساسية المفرطة لتقديرات العائدات المتوقعة. يبدأ Black-Litterman بالعوائد المتوقعة المتوازنة التي تتضمنها محفظة السوق الحالية (باستخدام CAPM) كنقطة بداية محايدة، ثم يسمح للمستثمرين بالتعبير عن "وجهات نظرهم" بشأن أصول أو علاقات محددة ويمزج هذه الآراء مع عوائد التوازن في إطار بايزي. تعتبر العوائد المتوقعة الناتجة أكثر استقرارًا وتنتج محافظ بديهية ومتنوعة بشكل جيد تتجنب التخصيصات المركزة للغاية لـ MVO الخالصة. Black-Litterman هو الإطار الكمي المهيمن لتخصيص الأصول الاستراتيجية المؤسسية.
كيف يؤثر الارتباط على الحدود الفعالة؟
إن الارتباط بين الأصول هو المدخل الأكثر أهمية الذي يحدد شكل وموقع حدود الكفاءة. فعندما يكون الارتباط بين أصلين هو +1.0 بالضبط (ارتباط إيجابي كامل)، لا تنشأ فائدة التنويع ــ تنهار الحدود الفعالة إلى خط مستقيم يربط بين الأصلين، ومخاطر المحفظة هي ببساطة المتوسط المرجح للمخاطر الفردية. ومع انخفاض الارتباط نحو الصفر، تنحني الحدود إلى اليسار، وهو ما يمثل فوائد متزايدة للتنويع. عند الارتباط = .01.0 (ارتباط سلبي مثالي)، يكون للحدود شبك في محفظة ذات تباين صفري، مما يمثل أقصى قدر ممكن من التنويع. ومن الناحية العملية، تتراوح الارتباطات بين فئات الأصول الرئيسية من -0.3 (الأسهم مقابل الذهب) إلى +0.9 (الأسهم داخل نفس القطاع)، مما يوفر تنويعًا جزئيًا ولكن ذا معنى.
هل الحدود الفعالة مستقرة مع مرور الوقت؟
إن الحدود الفعالة ليست مستقرة مع مرور الوقت - فهي تتغير مع تغير العائدات المتوقعة للأصول الأساسية، والتقلبات، والعلاقات المتبادلة. وأثناء ضغوط السوق (على سبيل المثال، 2008، 2020)، ترتفع الارتباطات بين الأصول الخطرة نحو 1.0، مما يؤدي إلى تقليص فوائد التنويع بشكل كبير وانهيار الحدود إلى الداخل. وتزداد التقلبات أيضًا في فترات التوتر، مما يزيد من تدهور الحدود. تعد الحدود الإستراتيجية الفعالة طويلة المدى (باستخدام بيانات 20-30 عامًا) أكثر استقرارًا من الحدود التكتيكية قصيرة المدى، ولكنها حتى تتغير ماديًا مع تغير النظام. إن عدم الاستقرار هذا هو السبب وراء قيام معظم الممارسين بتحديث تقديرات التغاير الخاصة بهم ديناميكيًا باستخدام النوافذ المتداولة، أو الترجيح الأسي، أو نماذج العوامل التي تتكيف مع ظروف السوق المتغيرة.
ما هي محفظة الظل ولماذا هي خاصة؟
محفظة الظل هي المحفظة الموجودة على الحدود الفعالة والتي تتمتع بأعلى نسبة شارب - فهي تزيد من العائد الزائد لكل وحدة من إجمالي المخاطر. ومن الناحية الهندسية، فهي النقطة التي يلامس فيها الخط المرسوم من المعدل الخالي من المخاطر حدود الكفاءة. وبموجب CAPM، فإن محفظة الظل تساوي محفظة السوق (المحفظة ذات القيمة المرجحة لجميع الأصول القابلة للاستثمار). وهذا يعني أن الاستثمار السلبي في المؤشرات، والذي يقارب محفظة السوق، هو الأمثل في إطار CAPM. من الناحية العملية، تختلف محفظة الظل المحسوبة من البيانات التاريخية أو توقعات المحللين عن محفظة السوق النظرية وتستخدم كأساس للميل النشط بالنسبة لمعيار السوق.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
▾
- !استخدام العوائد التاريخية فقط كمدخلات عائد متوقعة - الوسائل التاريخية هي تنبؤات سيئة للعوائد المستقبلية وتنتج محافظ غير مستقرة إلى حد كبير عند تغذيتها مباشرة في MVO.
- !تجاهل خطأ التقدير في مصفوفة التباين المشترك - مع وجود العديد من الأصول والبيانات المحدودة، تحتوي مصفوفة التباين المشترك على خطأ كبير في التقدير يتم تضخيمه أثناء التحسين.
- !التعامل مع الحدود الفعالة باعتبارها تحسينًا ثابتًا بدلاً من البناء الديناميكي الذي يعتمد على المدخلات - يجب تحديث الحدود مع تغير ظروف السوق وتوقعات العائدات.
- !الفشل في وضع تكاليف المعاملات في الاعتبار عند إعادة التوازن - فإن إعادة التوازن المتكررة للبقاء على الحدود الفعالة يمكن أن تؤدي إلى تآكل العائدات من خلال تكاليف المعاملات والضرائب.
- !المبالغة في تفسير الاختلافات الصغيرة في نسبة شارب على طول الحدود - تتمتع المحافظ القريبة من نقطة التماس بأداء مماثل معدل حسب المخاطر، وعدم اليقين في المدخلات يعني أن المحفظة "المثلى" لديها فترات ثقة واسعة.
نصيحة احترافية
بسبب خطأ التقدير في العوائد المتوقعة، ركز على شكل الحدود الفعالة (وخاصة المنحنى بالقرب من الحد الأدنى لمحفظة التباين) بدلا من أوزان محفظة الظل المحددة. غالبًا ما تكون الأساليب القائمة على المخاطر (المساهمة المتساوية في المخاطر، والحد الأقصى من التنويع) أكثر قوة من أساليب تعظيم العائد عندما تكون تقديرات العائد المتوقع غير مؤكدة.
هل تعلم؟
قدم هاري ماركويتز أطروحته للدكتوراه حول نظرية المحفظة في جامعة شيكاغو في عام 1952. وعندما قدم عمله إلى ميلتون فريدمان (الحائز الآخر على جائزة نوبل في المستقبل)، قيل إن فريدمان اعترض قائلاً إنه لا يتعلق بالاقتصاد حقاً. فاز ماركويتز بجائزة نوبل في الاقتصاد عام 1990 - بعد 38 عامًا - عن نفس العمل الذي شكك فيه فريدمان في البداية.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
المراجع
Read the full guide on how to use this calculator effectively
اقرأ المزيد →احصل على نصائح الرياضيات الأسبوعية
انضم إلى مشتركي 12,000+ الذين يحصلون على نصائح حول الآلة الحاسبة كل أسبوع.